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\begin{document}
 


\pagestyle{fancy}

\lhead{722}
\chead{\begin{large}Étude d'une famille de fonctions\end{large}}
\rhead{22/09}
\lfoot{\begin{small}\LaTeX\end{small}}
\cfoot{}
\setlength{\columnseprule}{0.8pt}

  




Soit $k$  un réel strictement positif, on considère la famille de fonctions $f_{k}$ définies sur $\R$
par $f_{k}(x)=x-k(x+1)\mathrm{e}^{-x}$.

On note $\mathscr{C}_{k}$ la courbe représentative de $f_{k}$ dans un repère orthonormal $\oij$.

\begin{enumerate}
 \item À l'aide d'une calculatrice représenter les courbes $\mathscr{C}_k$ pour 
$k=0,5$ ,$k=1$, $k=3$. Formuler des conjectures concernant

\begin{enumerate}
 \item   les limites de $f_k$ en $\pm \infty$.
\item  l'existence d'un point commun à toutes les courbes $\mathscr{C}_k$.
\item l'existence d'un minimum pour chaque fonction $f_k$.
\end{enumerate}



 \item 
\begin{enumerate}

 \item Montrer qu'il existe un point commun à toutes les courbes de la famille.
 \item Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_{k}$ et $\mathscr{C}_{k+1}$.

 
\end{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f_{k}$ en $-\infty$ et $+\infty$.
 \item Montrer que pour tout $k>0$, $\mathscr{C}_{k}$ admet une droite asymptote $(\Delta)$ dont on donnera une équation.
 \item Préciser les positions relatives de $\mathscr{C}_{k}$ et $(\Delta)$.

 
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'_{k}(x)$ 
\item Déterminer une équation de la tangente $T_{k,O}$ à la courbe $\mathscr{C}_{k}$ au point d'abscisse $0$.

Que peut on dire de toute les tangentes  $T_{k,O}$ ?
 \item Montrer que $f'_{k}(x)$ est du signe de  $e^{x}+kx$.
 \item Soit la fonction $g_{k}$  définie sur   $\R$ par $g_{k}(x)=e^{x}+kx$.

Montrer que l'équation $g_{k}(x)=0$ admet sur $\R$ une solution $a_{k}$ unique.
\item En déduire que $f_{k}$ admet un minimum unique en $a_{k}$ et vérifier que :

$f_{k}(a_{k})=a_{k}+1+\frac{1}{a_{k}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
















\end{document}
