

\documentclass[a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{unsrt}


\def\noi{\noindent}
\begin{document}
 


\pagestyle{fancy}
\lhead{722}
\chead{\begin{large}Interrogation N°1\end{large}}
\rhead{pour le 17/09/08}
\lfoot{\begin{small}\LaTeX\end{small}}
\cfoot{}

\begin{large}\textbf{R.O.C}\end{large} \hspace{1 cm}\begin{large}\textit{4 pts}                                                     \end{large}

Pré-requis :
\begin{description}
 \item[$\bullet$] $\exp(0)=1$,
\item[$\bullet$] la fonction $\exp$ est définie et dérivable sur $\R$ avec 
\item[$\bullet$] pour tout $x \in  \R\quad \exp(x)\neq 0$,
\item[$\bullet$] $(\exp)'=\exp$.
 \end{description}

En utilisant les pré-requis, démontrer le théorème suivant :

\begin{encadrer}
 Soit $k$ un réel donné.
Il existe une unique fonction $f$, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$. 
Cette fonction $f$ est définie sur $\R$ par  $f(x)=\exp(kx)$.
\end{encadrer}



\begin{large}\textbf{Exercice}\end{large} \hspace{1 cm}\begin{large}\textit{6 pts}   \end{large}                                        
                                                   

 Soit la fonction $f$ définie sur $\GR$ par~: $f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^{x}.$

	\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=0$.
	\item Étudier le sens de  variation de $f$.
	\item Déterminer les extremums locaux de $f$.
	\item En déduire que pour tout $x \in\R$,  $f(x)\geq -2\mathrm{e}$.
	\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}\textbf{R.O.C}\end{large}


Soit  la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\exp(kx)$.

On a $f(0)= \exp(0)=1$ de plus pour tout réel $x$ on a $f'(x)=k\exp(kx)=kf(x)$.
La fonction $f$ est bien une solution de l'équation différentielle $f'=kf$ avec $f(0)=1$.



Si $g$ est une fonction telle que $g'=kg$ et $g(0)=1$, comme la fonction exponentielle ne s'annule pas, on peut définir pour tout réel $x$, la fonction $\phi(x)=\frac{g(x)}{\exp(kx)}.$

La fonction $\phi$ est dérivable (quotient de fonctions dérivables) sur $\R$ et on a :

\begin{arrayl}[l]

\phi'(x)=\frac{g'(x)\exp(kx)-kg(x)\exp(kx)}{{\exp(kx)}^2}\\

\phi'(x)=\frac{kg(x)-kg(x)}{\exp(kx)}\\

\phi'(x)=0.
\end{arrayl}

La fonction $\phi$ est constante sur $\R$, or $\phi(0)=\frac{g(0)}{\exp(0)}=1$.


On en déduit que pour tout réel $x,\;\phi(x)=1$ soit $\frac{g(x)}{\exp(kx)}=1$ et donc
$g(x)=\exp(kx)$. 

L'unique solution de l'équation différentielle  $f'=kf$ avec $f(0)=1$ est donc la fonction $x \mapsto\exp(kx)$
\vspace{0.2cm}

\begin{large}\textbf{Exercice}\end{large} 

 

	\begin{enumerate}
	\item 
\begin{arrayl}[l]
f(x)=0\\
(x^2-3)\mathrm{e}^{x}=0 \mbox{ or } \mathrm{e}^{x}\neq0\\
x^2-3=0\\
x=-\sqrt{3} \mbox{ ou } x=\sqrt{3}
\end{arrayl}

Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont $x_1=-\sqrt{3}$ et $x_2=\sqrt{3}$.

	\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$  et on a pour tout $x \in \R$

\begin{arrayl}[l]
f'(x)=2x\mathrm{e}^{x}+(x^2-3)\mathrm{e}^{x}\\
f'(x)=(x^2+2x-3)\mathrm{e}^{x}\\
\end{arrayl}

Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, $f'(x)$ est du signe de $x^2+2x-3$. 

Ce trinôme admet deux racines $-3$ et $1$ et est du signe de $a=1$ à l'extérieur des ses racines.
\vspace{0.2 cm}

\begin{pspicture}(10,5)
\psframe(10,5) 



\psline(0,2)(10,2) 
\psline(0,4)(10,4) 
\psline(2,0)(2,5) 

\uput[u](1,4.2){$x$} \uput[u](2.3,4.2){$-\infty$} \uput[u](4.3,4.2){$-3$} \uput[u](7.3,4.2){$1$}  \uput[u](9.5,4.2){$+ \infty$}

\psline(4.3,4)(4.3,2) 
\psline(7.3,4)(7.3,2) 

\uput[u](1,2.5){$f'(t)$} \uput[u](3,2.5){$+$}  \uput[u](5.8,2.5){$-$} \uput[u](8.7,2.5){$+$}
\uput[u](4.3,2.5){$0$}  \uput[u](7.3,2.5){$0$}
\uput[u](1,0.75){$f$}   
\uput[u](4.5,1.4){$6\mathrm{e}^{-3}$}   \uput[d](7.3,0.6){$-2\mathrm{e}$}

\psline{->}(2.7,0.5)(4.2,1.5)
\psline{->}(4.5,1.5)(7.2,0.5)
\psline{->}(7.5,0.5)(9.3,1.5)

\end{pspicture}




	\item La fonction dérivée s'annule en changeant de signe respectivemment en $-3$ et $1$, la fonction $f$ admet donc un maximum local en $-3$  qui vaut  $6\mathrm{e}^{-3}$ et un minimum local en $1$ qui vaut $-2\mathrm{e}$.
	\item À l'aide du tableau on déduit  que pour tout $x \in [-3;+\infty[$,  $f(x)\geq -2\mathrm{e}$.

On sait que  $f(x)$ est du signe de $x^2-3$ or ce trinôme admet deux racines $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ et est du signe de $a=1$ à l'extérieur des ses racines donc pour $x< -\sqrt{3}$ on a $f(x)>0$.

Pour $x\in ]-\infty;-3]$, $f(x)>0>-2\mathrm{e}$, on en conclut que pour tout $x\in R$, $f(x)\geq -2\mathrm{e}$.

\vspace{0.2 cm}
	\end{enumerate}


\end{document}
