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\begin{document}


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\chapterimage{mandelbrot_set_wikimedia.jpg}%\caption{http://www.flickr.com/photos/barryskeates/}


\chaptertext{\textbf{L’ensemble de Mandelbrot} est une fractale définie comme l'ensemble des points $c$ du plan complexe pour lesquelles 
la suite définie par  $z_0=1$ et   $z_{n+1}={z_n}^2+c$ ne tend pas vers l'infini en module.}

\chapter{Nombres complexes 1\slash2}

\section{Ensemble des nombres complexes}
\subsection{Motivations}

Étant donné que certaines équations polynomiales à coefficients réels n'ont pas toujours de solution, on cherche à construire
un nouvel ensemble de nombres  :
\begin{description}
 \item[$\bullet$] contenant tous les nombres réels,
 \item[$\bullet$] muni de deux opérations prologeant l'addition et la multiplication des nombres réels et ayant les mêmes règles de calculs,
 \item[$\bullet$] contenant un élément noté $i$ tel que $i^2=-1$,
\item [$\bullet$] tout nombre $z$ s'écrive de manière unique $z=a+ib$ où $a$ et $b$ sont des réels.
 \end{description}


Un tel ensemble existe, il s'agit de l'ensemble des nombres complexes noté $\mathbb{C}$.




\subsection{Vocabulaire et premières propriétés}

\begin{definition}
 Un nombre complexe est un nombre de la forme $a+ib$, où $a$ et $b$ sont deux réels et $i$ est le nouveau nombre
tel que $i^2=-1$.
\end{definition}

\begin{theoreme} On  définit un ensemble $\mathbb{C}$ 
\begin{description}
\item[$\bullet$] muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$
\item[$\bullet$] contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item[$\bullet$] tel que chaque élément $z$ de $\mathbb{C}$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme   
\[z=a+ib \quad \mathrm{avec} \; a \; \mathrm{et} \; b \; \mbox{ deux nombres réels}\]
\end{description}
\end{theoreme}


\begin{definition}
Cette écriture $z=a+ib$ unique est appelée \textbf{forme algébrique} du complexe $z$.

Le nombre réel $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $Re(z)$

Le nombre imaginaire $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $Im(z)$

\end{definition}



\begin{definition}
Soit $z=a+ib$ et $z'=c+id$ deux nombres complexes  on définit les deux opérations addition et multiplication :
\begin{multicols}{2}
 \begin{description}
 \item [$\bullet$] $z+z'=(a+c)+i(b+d)$  \item[$\bullet$]$z\times z'=(ac-bd)+i(ad+bc)$ \end{description}
\end{multicols}
\end{definition}

On vérifie que ces deux opérations sont associatives, communatives que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

\begin{propriete}[identités remarquables complexes]
\begin{description}
\item [$\bullet$]${(a+ib)}^2=a^2+2iab-b^2$
\item [$\bullet$]${(a-ib)}^2=a^2-2iab-b^2$
\item [$\bullet$]$(a+ib)\times(a-ib)=a^2+b^2$
 \end{description}

\end{propriete}


\section{Représentation géométrique}


 \begin{definition}
\begin{minipage}{7.5cm}
 Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v})$ :
 \begin{description}
  \item[$\bullet$]à tout complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ deux réels, on associe le point $M(a;b)$ et le vecteur $\overrightarrow{w}(a;b)$. 

 \item[$\bullet$]Réciproquement à tout point $M(a;b)$ et vecteur $\overrightarrow{w}(a;b)$ du plan on associe le nombre complexe $z=a+ib$.
On dit que le point $M$ et le vecteur ont pour \textbf{affixe} $z$.

\end{description}Le plan est alors appelé plan complexe.
\end{minipage}\hspace{1ex}
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{asy}
 import graph_pi;

size(4.5cm);
scale(false);
marker croix1=marker(scale(2.5)*cross(4),1bp+0.6red);
real xmin=-2, xmax=3, ymin=-3, ymax=2;
grid(xmin, xmax, ymin, ymax,
     xStep=1, xstep=2,
     yStep=1, ystep=2,
     pTick=.5bp+0.7gray, ptick=0.7gray,
     above=false
     );
draw((xmin,0)--(xmax,0)^^(0,ymin)--(0,ymax), 
      1bp+0.7blue);

draw(Label("$\overrightarrow{u}$",EndPoint,SE),(0,0)--(1,0),0.2grey+1.5bp,arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill));
draw(Label("$\overrightarrow{v}$",MidPoint,W),(0,0)--(0,1),0.2grey+1.5bp,arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill));
draw(Label("$\overrightarrow{w}$",MidPoint,SW),(0,0)--(3,-2),0.6red+1bp,arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill));
draw("$M$",(3,-2),SE,0.6red,croix1);
//shipout(bbox(2mm,Fill(white)));
\end{asy}
\end{minipage}
  
 \end{definition}

\begin{remarques}
\begin{description}
\item[$\color{blue}{\bullet}$] Si $b=0$ alors $z=a$ d'où $z$ est un réel, le point $M$ d'affixe $z$ appartient à l'axe des abscisses.
\item[$\color{blue}{\bullet}$]Si $a=0$ alors $z=ib$ on dit que $z$ est un imaginiare pur, le point $M$ d'affixe $z$ appartient à l'axe des ordonnées.
\item[$\color{blue}{\bullet}$] L'axe des abscisses est appellé \textbf{axe des réels} et l'axe des oordonnées est appellé \textbf{axe des imaginairs purs}.

\end{description}

\end{remarques}


\begin{propriete}
 Soit les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.
\end{propriete}

\section{Conjugué d'un complexe}



\begin{definition}
On appelle \textbf{conjugué} du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $\overline{z}=a-ib$.
\end{definition}

\begin{exemples}~

 $\overline{3-2i}=3+2i$ \hfill $\overline{5+i}=5-i$\hfill $\overline{3}=3$\hfill $\overline{i}=-i$
\end{exemples}


\begin{propriete}[lien entre conjugué et parties réelle et imaginaire]
\begin{multicols}{2}
 \begin{description}
  \item[$\bullet$]$Re(z)=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$
 \item[$\bullet$]$Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$
\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}


\begin{demonstration}~

soit $z$ un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ deux réels on a :\begin{multicols}{2}
 \begin{description}
 \item[]$
\begin{array}{l}
z+  \overline{z} = a+ib + a-ib\\
z+  \overline{z} = 2 a\\
z+  \overline{z} = 2 Re(z)\\
Re(z) =\frac{1}{2}(z+\overline{z})
\end{array}
$
\item[]$\begin{array}{l}
z-  \overline{z} = a+ib -( a-ib)\\
z  \overline{z} = 2 ib\\
z-  \overline{z} = 2i Im(z)\\
Im(z) =\frac{1}{2i}(z-\overline{z})
\end{array}
$
\end{description}\end{multicols}
\end{demonstration}

\begin{propriete}[Propriétés des conjugués]
\begin{multicols}{2}
 \begin{description}
 \item[$\bullet$]$\overline{\overline{z}}=z$
\item[$\bullet$]$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
 \item[$\bullet$]$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}$
\item[$\bullet$]$\overline{z^n}=\overline{z}^n$
\item[$\bullet$]$\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$
\item[$\bullet$]$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}


\begin{remarques}
Le produit $z\overline{z}$ est un réel positif, en effet $z\overline{z}=a^2+b^2$
\end{remarques}





\begin{propriete}
\begin{multicols}{2}
\begin{description}
 \item[$\bullet$] $z$ est un réel $\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
 \item[$\bullet$]$z$ est un imaginaire pur $\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}

\begin{remarques}~

\begin{description}
\item[$\color{blue}{\bullet}$] Pour démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel, on peut calculer son conjugué $\overline{z}$ et vérifier qu'il est égal à $z$.
 \item[$\color{blue}{\bullet}$]Obtenir la forme algébrique d'une nombre complexe non-nul à l'aide de son conjugué :  

\[\frac{1}{2+i}=\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}=\frac{2+i}{4+1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i\]

\end{description}
\end{remarques}



\section{Équations du second degré dans $\mathbb{C}$}
\begin{theoreme}
Soit l'équation du second degré  $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$  et $c$ des réels.

Cette équation admet toujours des solutions dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ 

À l'aide de son discriminant $\Delta=b^2-4ac$, on distingue trois cas  :
\begin{description}
 \item[$\bullet$]Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $z=-\frac{b}{2a}$.
  \item[$\bullet$]Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  $z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
 \item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées $z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
\end{description}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}~ 

On utilise la forme cannonique vu en classe de première $az^2+bz+c=a\left[{(z+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$
\begin{description}
 \item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] Pour les deux premiers cas $\Delta=0$ et $\Delta>0$ ont retrouve les cas vus en première.

 \item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] si  $\Delta<0$, on a $-\Delta >0$  d'où $\Delta={(i\sqrt{-\Delta)}}^2$.On utilise la forme cannonique 

${\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta}{4a^2}={\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{(i\sqrt{-\Delta)}}{2a}\right)}^2= 
\left(z+\frac{b- i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b+ i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)$.
On en déduit les deux solutions de l'équation du second degré $az^2+bz+c=0$ dans ce cas.
\end{description}
\end{demonstration}



%%%%%%%%%Exemples%%%%%%%%



\end{document}



\begin{exemple}
 On considère l'équation $z^2-z+1=0$  on a $\Delta=-3$.

Les solutions sont donc  $z_1=\frac{1- i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$. 

De plus  on a pour tout $z\,\in\, \mathbb{C}$, $z^2-z+1=\left(z+\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}\right)\left(z+\frac{-1- i\sqrt{3}}{2}\right)$

\end{exemple}