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\begin{document}


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\setcounter{chapter}{5}



\chapterimage{croissance_exponentielle.jpg}%\caption{http://www.flickr.com/photos/emsl/}

\chaptertext{Une croissance exponentielle s'exprime en mathématiques :

$\bullet$ pour un phénomène discret sous forme d'une suite géométrique

$\bullet$ pour un phénomène continu sous forme d'une fonction exponentielle.

On démontre qu'une croissance exponentielle conduit la taille de la population
 à croître de plus en plus vite vers  $+\infty$. Ci-contre des cellules \textit{Shewanella putrefaciens} à la surface de 
particules d'hematites} 

\chapter{Fonction exponentielle}



\section{Fonction exponentielle}


\begin{propriete}[Résultat préliminaire.]
 Si, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$, alors $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
\end{propriete}

\begin{demonstration}

Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi(x)=f(x)\times f(-x)$.
La fonction $\phi$ est dérivable et on a pour tout $x\in \mathbb{R}$ 

$\begin{array}{l}
\phi(x)=f(x)\times f(-x)\\
\phi'(x)=f'(x)\times f(-x)+f(x)\times [-f'(-x)]\\
\phi'(x)=f'(x)\times f(-x)-f(x)\times f'(-x)\\
\phi'(x)=0.
\end{array}$

La fonction $\phi$ est constante sur $\mathbb{R}$, or $\phi(0)=f(0)\times f(0) = 1$, donc pour tout réel $x,\;\phi(x)=1$.
D'où $f(x)\times f(-x)=1$, et finalement pour  tout réel $x$, $f(x)\neq 0$.
\end{demonstration}



\begin{remarque}
On  en déduit aussi que pour  tout réel $x$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$.
\end{remarque}










\begin{theoreme}
  Il existe une unique fonction $f$,
dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. 

Cette fonction  est appelée \textbf{fonction exponentielle} et est notée \textbf{exp}.

\end{theoreme}

\begin{demonstration}
\begin{description}
\item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] L'existence de la fonction exponentielle est admise. 
\item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] \textbf{Unicité}



Si $g$ est une fonction telle que $g'=g$ et $g(0)=1$, la fonction $h=\frac{g}{f}$ est définie (car $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, cf. prop.1)
et est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On a $h'=\frac{g'f-gf'}{f^2}$ or $f'=f$ et $g'=g$, d'où $h'=0$ 
et donc $h$ est constante.

Pour tout réel $x$, $h(x)=h(0)=1$ c'est-à-dire $g(x)=f(x)$ et donc $f=g$.\\
\end{description}




\end{demonstration}

\begin{propriete}
 La fonction exponentielle $\exp$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
\end{propriete}

\begin{demonstration}

Démontrons par l'absurde que pour tout réel $x$, on a $\exp(x)>0$.

Supposons qu'il existe un réel $a$ tel que $\exp(a)<0$. 

On sait de plus que $\exp(0)=1$ et que la fonction exponentielle est continue (car dérivable) donc d'après
le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $b$ compris entre $a$ et $0$ tel que $\exp(b)=0$.

On obtient une contradiction avec la Propriété 1 par conséquent pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$. 

 

 
\end{demonstration}









\section{Étude de fonction}

\subsection{Variations}
\begin{propriete}
 La fonction exponentielle $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{propriete}
\begin{demonstration}

 La fonction exponentielle est dérivable et par définition  $(\exp(x))'=\exp(x)$.

D'après la Prop. 1  $\exp(x)>0$ pour tout réel $x$ on en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante. 
\end{demonstration}

\subsection{Limites}

\begin{propriete}
 



\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{description}
\item$\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$
  \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$

 \end{description}
\end{multicols}

\end{propriete}




\begin{demonstration}[Démonstration sous forme d'exercice]

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f~:~x\mapsto e^x-x$.
 \begin{enumerate}

\item Étudier les variations de $f$.
\item Calculer $f(0)$ et en déduire le signe de $f$.

\item En déduire que pour tout réel $x$ que $e^x>x$ puis que $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$.

\item Utiliser $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ pour en déduire que $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$

\end{enumerate}

\end{demonstration}



\subsection{Synthèse et courbe représentative}

\textbf{Tableau de variations :}
\vspace{0.2 cm}

\begin{asy}
 import gm_tableaux;
size(5.5cm);

string[] x={"-inf","+inf"},
        sd={"","+",""},
         y={"0","+inf"};
real[]   h={0 ,  0.5  }; //<< pour placer "manuellement" les images
                                             
picture tab=tabvar(fonct="\exp",
                   deriv="\exp",x,y,h,affderivee=true,sd);
add(tab);
\end{asy} 

Dans un repère $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,;\,\overrightarrow{j})$, la courbe représentative de la fonction exponentielle
admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $-\infty$.

\begin{propriete}
\begin{minipage}{6 cm}


Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle :

\begin{description}
\item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] 
au point d'abscisse $0$  est $y=x+1$.

\item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] au point d'abscisse $1$ est $y=\mathrm{e}x$.
\end{description}
\vspace{5.5cm}
\end{minipage}
\hspace{0.2 cm}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{asy}
 import graph_pi;

size(8cm);
scale(false);

real xmin=-4,xmax=3;
real ymin=-2,ymax=7.5;

grid(xmin, xmax, ymin, ymax,
     xStep=1, xstep=.5,
     yStep=1, ystep=.5,
     pTick=.5bp+grey, ptick=grey,
     above=true
     );
draw((xmin,0)--(xmax,0)^^(0,ymin)--(0,ymax), 
      1.5bp+black);
labeloij(p=1.8bp+.3*blue,
         arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill),
         dot(.5*blue));

// Définition de la fonction
real f(real x) {return exp(x);}
real g(real x) {return 2.718*x;}
real h(real x) {return x+1;}



// Tracé de la courbe
path Cg=graph(g,-0.5,2.5,n=100);
draw(Cg,1bp+blue);

// Tracé de la courbe
path Ch=graph(h,-1.5,3,n=100);
draw(Ch,1bp+green);

// Tracé de la courbe Cf
path Cf=graph(f,-4,2,n=100);
draw(Cf,1.5bp+red);
dot((0,1),3bp+red);
dot((1,2.718),3bp+red);
//xaxis(Label("$x$"),xmin=-4,xmax=2,Arrow());
//yaxis(Label("$y$"),ymin=0,ymax=8,Arrow());


//shipout(bbox(2mm,Fill(white)));
\end{asy}
\end{minipage}

 
\end{propriete}

\section{Propriétés algébriques et notation $e^x$}

\begin{theoreme}
 Pour tous réels $x$ et $y$ on a  : 

 \[\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)\]
\end{theoreme}


\begin{demonstration}
 Soit $y$ un réel, comme pour tout réel $x$ on a $\exp(x)\neq 0$ on peut définirla fonction $f$ définie pour tout réel $x$  par $f(x)=\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$

La fonction $f$ est dérivable et on a :

$f(x)=\frac{\exp(x+y) \exp(x)-\exp(x+y)\exp(x)}{{\exp(x)}^2}=0$ 

donc la fonction $f$ est constante or $f(0)=\exp(y)$ d'où pour tout réel $x$, 

$\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}=\exp(y)$ par conséquent 
$\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)$


\end{demonstration}



Par conséquent on en déduit les propriétés suivantes :
 
\begin{propriete}


\begin{enumerate}



 




\item Pour tous réels $x$ et $y$ on a :$\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$

\item $\exp(-b)=\frac{1}{\exp(b)}$

\item $\exp(kx)={[\exp(x)]}^k$, avec $k\in\mathbb{Z}$



\end{enumerate}
\end{propriete}





On pose $\mathrm{e}=\exp(1)$  on a obtenu grâce à la méthode d'Euler une approximation de $e$, car $e=\lim(1+\frac{1}{n})^n$

\[\mathrm{e}\simeq 2,71828182845904523536\]

et que pour tout entier $k$,
\[\exp(k)=\exp(k\times 1)={\exp(1)}^k=\mathrm{e}^k\]

on note alors, \textbf{par convention}, que

\[\exp(x)=e^x\]

Il a reste à  vérifier que les propriétés vues précédemment sont
conformes à l'usage de la notation puissance.

\begin{propriete}
 Pour tous réels $x$, $y$ et entier relatif $n$ :
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
 \begin{description}
  \item[$\bullet$]$\mathrm{e}^0=1$
 \item[$\bullet$]  $\mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$
 \item[$\bullet$]$\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{y}$
 \item[$\bullet$]  $\mathrm{e}^{x-y}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}$
 \item[$\bullet$] ${(\mathrm{e}^{x})}^k=\mathrm{e}^{kx}$

  \end{description}
  

 



\end{multicols}

\end{propriete}











\end{document}

