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\begin{document}


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\cfoot{mis à jour mars 2016}

\chapterimage{berational.jpg}%\caption{http://www.flickr.com/photos/mag3737}

\chaptertext{Dans un cas particulier de la  formule d'Euler  on trouve dans la même égalité $\mathrm{e}$,  $\mathrm{i}$ et $\pi$ :
 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$. Les lecteurs de The Mathematical Intelligencer l'ont désignée comme \og la plus belle formule mathématique de tous les temps \fg.}


\chapter{Nombres Complexes  2}

\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe non-nul}





\subsection{Module d'un nombre complexe}


  \begin{definition}
    Le module du complexe  $z$ d'écriture algébrique $a+\mathrm{i}b$ est le réel positif noté $|z|$ tel que 
\[|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}= \sqrt{a^2+b^2}\]

autrement dit $|z|^2=z\ \,\overline{z}$.
    \end{definition}


\begin{remarque}
 Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\sqrt{a^2}=|a|$ donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et 
la notation utilisée pour le module est cohérente.

La notion de module dans $\mathbb{C}$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\mathbb{R}$.
\end{remarque}

\textbf{Propriétés du module}
\medskip

  \begin{propriete}[] \begin{multicols}{2}
        \begin{description}
\item[$\bullet$] $|\overline{z}|=|z|$
\item[$\bullet$] $|z|=0 $ si et seulement si $z=0$
\item[$\bullet$] $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$
\item[$\bullet$] $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ avec $z_2\neq 0$

\end{description}\end{multicols}
    \end{propriete}
  


\textbf{Interprétation géométrique}
\medskip






Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2})$, on considère  le point $M$
 d'affixe $z$ d'écriture algébrique $a+\mathrm{i}b$



On a $|z|= \sqrt{a^2+b^2}$ qui n'est autre que la  norme du  vecteur $\overrightarrow{OM}$ c'est-à-dire la distance $OM$. 



\begin{center}
 \includegraphics{/home/akbida/archives/varoquaux_2008_2009/2nd/Figures/figuresTS/limfonc-36.pdf}
\end{center}



\subsection{Argument d'un nombre complexe}


  \begin{definition}

Dans le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2})$, soit $z$ un nombre complexe non-nul et $M$ le point du plan d'affixe $z$. 

On appelle argument de $z$, noté $\arg z$, toute mesure en radians de l'angle de vecteur $(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OM})$
    \end{definition}

\begin{center}
 \includegraphics{/home/akbida/archives/varoquaux_2008_2009/2nd/Figures/figuresTS/limfonc-37.pdf}
\end{center}


\begin{remarque}
Un nombre complexe non-nul a une infinité d'argument, si $\theta$ est un argument de $z$ alors $\theta + 2k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
est aussi un argument de $z$.



\end{remarque}


\subsection{Forme trigonométrique}

La donnée d'un réel positif $r$ et d'un angle $\theta$  permet de définir un unique point $M$ d'affixe $z\neq 0$  du plan complexe tel que
$OM=r$ et  $(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OM})=\theta$.

On en déduit que $z= r(\cos  \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$

 \begin{definition}
    Soit $z$ un nombre complexe non-nul.  L'écriture $z=  r(\cos  \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$ 
avec $r= |z|$ et $\theta = \arg z$  est appelée une forme trigonométrique de $z$.  \end{definition}

\subsection{Passage forme algébrique $\Leftrightarrow$ forme trigonométrique} 


Soit  $z\in \mathbb{C}$  de   forme  algébrique  $a+\mathrm{i} b$  et   de  forme
trigonométrique $r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ alors on a d'une part~: 


  \begin{propriete}[forme algébrique connaissant la forme trigonométrique]
$a=r\cos\theta$ et $b=r\sin\theta$.    
    \end{propriete}
  



et d'autre part $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.



Si $z$ est \textit{non nul},  son module $r=\sqrt{a^2+b^2}$ sera non nul
également. Ainsi, on peut  écrire $z$ sous la forme :

\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{center}

$\begin{array}{lll}
z&=& \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\mathrm{i}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
z   &=& r(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\mathrm{i}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})\\
 z   &=& r(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta))
\end{array}$
\end{center}

On en déduit



  \begin{propriete}[forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique]
$\cos(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin(\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. 
    \end{propriete}
  




Ainsi, connaissant $a$ et $b$, on  peut obtenir le module et un argument
de  $a+\mathrm{i}   b$.  On   obtiendra  une  mesure   exacte  de   $\theta$  si
$\cos(\theta)$  et   $\sin(\theta)$  sont  des   valeurs  connues  comme
$\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$,  $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 1, etc. 

Sinon,  on   obtiendra  une  valeur  approchée  à   l'aide  de la calculcatrice.


\subsection{Opération sur les formes trigonométriques}

Soit $z=r(\cos\theta+\mathrm{i} \sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+\mathrm{i} \sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+\mathrm{i} (\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')$$ 

On reconnaît les formules d'addition, donc on en déduit :
$$zz'=z=rr'(\cos(\theta+\theta')+\mathrm{i} \sin(\theta+\theta)')$$

on a donc


  \begin{propriete}[argument d'un produit]
    $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$
    \end{propriete}
  




On peut  démontrer les propriétés suivantes :



 \begin{propriete}[Propriétés algébriques des arguments]
\begin{multicols}{2}
 \begin{description}
\item[$\bullet$] $\arg(z^n)=n\arg(z)\,[2\pi]$
\medskip

\item[$\bullet$] $\arg\left( \frac{1}{z}\right) =-\arg(z)\,[2\pi]$
\medskip

\item[$\bullet$] $\arg\left( \frac{z}{z'}\right) =\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$
\medskip

\item[$\bullet$] $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item[$\bullet$] $\arg(-z)=\pi+\arg(z)\,[2\pi]$
\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}
  


En particulier, la formule concernant $z^n$ on peut écrire



  \begin{theoreme}[Formule de Moivre Hors-Programme]
    \begin{center}
     ${\left( \cos \theta+\mathrm{i}\sin\theta\right) }^n= \cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)$
    \end{center}
    \end{theoreme}
  






  \begin{remarque}
    \begin{itemize}
\item  Les   formes  trigonométriques  sont  adaptés   aux  produits  de
  complexes~;
\item Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.
  \end{itemize}
    \end{remarque}

 \section{Forme Exponentielle}

Soit $f$ la fonction $f\, :\,\theta \mapsto \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$  avec $\theta$ un nombre réel.

Le nombre complexe $f(\theta)$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\theta$.

Le nombre complexe $f(\theta+\theta')=\cos (\theta+\theta' )+ \mathrm{i} \sin (\theta+\theta')$ a pour module 1 et pour argument 
$\theta+\theta'$. 

Or le nombre $f(\theta)\times f(\theta')$ a aussi pour module 1 et pour argument $\theta+\theta'$

 car, pour $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls, on a
$\left|z_{1}z_{2}\right|  = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)$.


On en déduit que $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ de plus $f(0)=1$.

La fonction $f$ ainsi définie vérifie les propriétés de la fonction exponentielle, ce qui mène à la notation suivante :

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\]

 \begin{propriete}
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ peut s'écrire :

\[z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \mbox{ ou } z=r(cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),\]  

et réciproquement, tout nombre complexe qui s'écrit :

\[z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \mbox{ ou } z=r(cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),\]  

avec $r$ un réel strictement positif, a pour module $r$ et pour argument $\theta+ 2k\pi \quad (k\in \mathbb{Z}).$

 \end{propriete}


La forme exponentielle complexe possède des propriétés analogues à la fonction exponentielle réelle.

 \begin{propriete}
  Soit $r$ et $r'$ des réels strictement positifs, $\theta$ et $\theta'$ des réels quelconques.
\begin{enumerate}
 \item $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times r'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=rr'\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}$,
\item $\frac{1}{r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\frac{1}{r}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$,
\item $\frac{r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{r'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}}=\frac{r}{r'}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta')}$.
\end{enumerate}

 \end{propriete}

C'est Leonhard Euler (1707-1783) qui donnera cette relation qui à la remarquable propriété de relier les grandes branches
des mathématiques l'analyse, l'algèbre et la géométrie.

\begin{propriete}[Formules d'EULER]
 Pour tout nombre réel $\theta$, on a:
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta, \mbox{ d'où } \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}=\cos \theta - \mathrm{i} \sin \theta.\]
En particulier 
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\]

\end{propriete}

\textbf{\textit{Exemples :}} $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}=\cos\left(  \frac{5\pi}{6}\right) +\mathrm{i}\sin\left(  \frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i} $

On en déduit par addition et soustraction des égalités précédentes les résultats suivants.
\begin{propriete}
 \[\cos \theta =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} \quad 
\sin \theta =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}\]
\end{propriete}


\section{Applications en géométrie}
Dans le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$, on considère
les points $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts d'affixes respectivement $z_A$, $z_B$,$z_C$ et $z_D$.


On a les relations suivantes :

\begin{theoreme}
 \begin{enumerate}
  \item $(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A)=$
  \item $AB=|z_B-z_A|$
  \item $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD})=\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) $
\item $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} =r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ si et seulement si $\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)=\theta [2\pi]$
et $\frac{CD}{AB}=r$
 \end{enumerate}

\end{theoreme}

\begin{demonstration}
 \vspace{ 5 cm}

\end{demonstration}

\section{Cercle trigonométrique et angles remarquables}
\begin{center}
 \includegraphics{/home/akbida/archives/varoquaux_2008_2009/2nd/Figures/figuresAlice/cercleTrigo-1.pdf}
\end{center}
\end{document}

